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title: "O que é teste qui-quadrado de independência?"
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canonical: https://www.blog.psicometriaonline.com.br/qui-quadrado-teste-de-independencia
language: pt-BR
published: 2021-11-04T14:44:36.000Z
updated: 2026-03-30T16:20:46.936Z
modified: 2026-03-30T16:20:46.936Z
author: "Marcos Lima"
categories: ["Análises bi e multivariadas"]
tags: ["dados categóricos"]
description: "O teste qui-quadrado de independência avalia se há diferenças entre as frequências observadas e esperadas em duas variáveis categóricas."
source: Blog Psicometria Online
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# O que é teste qui-quadrado de independência?

> Neste post, explicaremos o que é o teste qui-quadrado de independência, como calculá-lo, interpretá-lo e reportá-lo. Para que serve o teste qui-quadrado de independência? O teste qui-quadrado de independência avalia se há diferenças estatísticas entre as frequências observadas e esperadas de c...

Neste post, explicaremos o que é o teste qui-quadrado de independência, como calculá-lo, interpretá-lo e reportá-lo.

## Para que serve o teste qui-quadrado de independência?

O teste qui-quadrado de independência avalia se há diferenças estatísticas entre as frequências observadas e esperadas de casos que ocorrem em duas variáveis categóricas.

Em outras palavras, o teste compara as frequências que observamos no cruzamento de duas [variáveis nominais ou ordinais](https://blog-academy.replit.app/qual-a-diferenca-entre-variaveis-nominais-e-ordinais) com as frequências que seriam esperadas sob a hipótese nula de não associação entre as duas variáveis.

Por exemplo, suponha que avaliamos 100 adultos quanto aos hábitos de consumo de café (não consome, consome) e de qualidade de sono (não tem insônia, tem insônia). A Figura 1 apresenta uma tabela de contingências 2 × 2, isto é, uma representação que cruza a classificação nas duas variáveis para os 100 adultos de nossa amostra.

![matriz de contingências 2 × 2 para exemplo do teste qui-quadrado de independência.](/uploads/2022-11_exemplo-do-tutorial-qui-quadrado-no-r.jpg)

*Figura 1. Tabela de contingências 2 × 2 para o exemplo do consumo de café e insônia.*

Nesse exemplo, desejamos explorar a relação entre duas variáveis categóricas nominais. Isto é, queremos responder à seguinte pergunta: existe associação entre consumo de café e insônia? Desse modo, veremos a seguir como calcular o teste qui-quadrado para dados oriundos desse delineamento hipotético.

## Como calcular o teste qui-quadrado de independência?

A fórmula do teste qui-quadrado de independência é relativamente simples:

![fórmula do teste qui-quadado de independência.](/uploads/2021-11_qui-quadrado-de-independencia-formula.jpg)

onde *Oi* corresponde à frequência observada na célula *i*, *Ei* corresponde à frequência esperada na célula *i*, *m* corresponde ao número de linhas, e *n*, ao número de colunas da tabela de contingências.

O χ2 é uma estatística que reflete quão discrepantes são as nossas observações do que seria esperado sob a hipótese nula. Assim, você pode notar que se *O* = *E* para todas as células da tabela, então a estatística χ2 será igual a zero. Por outro lado, quanto maior for a diferença entre *O* e *E* nas diferentes células, maior será a estatística χ2.

A expressão “aquilo que seria esperado” se refere às expectativas de resultado sob a hipótese nula. Em nosso exemplo, a hipótese nula é a de que o consumo de café não está associado a sintomas de insônia. Em outras palavras, se isso for verdade, esperamos que os relatos de insônia entre quem consome e quem não consome café sejam aproximadamente iguais.

A Figura 1 apresentou as frequências observadas, *Oi*. Por outro lado, devemos calcular as frequências esperadas, *Ei*, com base nos totais marginais das frequências observadas. Apresentaremos esse cálculo a seguir.

### Como calcular as frequências esperadas?

A Figura 2 reapresenta os dados da Figura 1, acrescida dos **totais marginais**, que correspondem às somas das linhas, das colunas e de todas as células da tabela de contingências.

![tabela de contingências para o teste qui-quadado de independência](/uploads/2021-11_tabela-de-contingencias-com-totais-marginais.jpg)

*Figura 2. Tabela de contingências 2 × 2 com totais marginais.*

Além disso, também construíremos uma nova tabela, idêntica à anterior. Contudo, deixaremos as células inicialmente vazias. A Figura 3 apresenta essa nova tabela, que terá como finalidade representar as frequências esperadas sob a hipótese nula de não associação entre variáveis.

![frequências esperadas para o teste qui-quadado de independência.](/uploads/2021-11_tabela-de-contingencias-frequencia-esperada-vazia.jpg)

*Figura 3. Tabela de contingências 2 × 2 para as frequências esperadas.*

Em seguida, iremos preencher as células da tabela. A fórmula para preencher cada uma das células é dada por:

![frequências esperadas.](/uploads/2021-11_frequencias-esperadas-formula-qui-quadrado.jpg)

Por exemplo, vamos preencher a célula **não consome café/não tem insônia**. Desse modo, multiplicamos o total da linha **não consome café** (i.e., 50) e o total da coluna **não tem insônia** (i.e., 38) e dividimos seu resultado pelo total geral (i.e., 100). Assim, inserimos o valor resultante (50 × 38 / 100 = 19) como a frequência esperada nessa célula, sob a hipótese nula. A Figura 4 ilustra essa descrição.

![como calcular as frequências esperadas no teste qui-quadado de independência](/uploads/2021-11_tabela-de-contingencias-frequencia-esperada-exemplo-de-calculo.jpg)

*Figura 4. Exemplo de cálculo de frequência esperada para uma das células da tabela de contingências 2 × 2. Os retângulos vermelhos destacam totais de linha e de coluna, enquanto o retângulo verde destaca o total geral.*

O mesmo procedimento se repete para todas as células da tabela. Ao final do procedimento, teremos uma tabela similar àquela apresentada na Figura 5.

![todas as frequências esperadas.](/uploads/2021-11_tabela-de-contingencias-frequencia-esperada-preenchida.jpg)

*Figura 5. Tabela de contingências 2 × 2 com todas as frequências esperadas.*

Pronto! Nossa tabela de contingências para frequências esperadas está preenchida. Contudo, lembre-se que após o termo “frequência esperada” está implícita a ideia de que é uma frequência esperada sob o pressuposto da hipótese nula de não associação entre variáveis.

### Como calcular a estatística de qui-quadrado?

Agora que já temos as tabelas com as frequências observadas (Figura 1) e esperadas (Figura 5), podemos aplicar a fórmula do qui-quadrado. A Figura 6 decompõe a fórmula do qui-quadrado de independência em uma série de passos para, finalmente, computar a estatística do teste.

![como calcular o teste qui-quadado de independência](/uploads/2021-11_qui-quadrado-de-independencia-exemplo-de-como-calcular.jpg)

*Figura 6. Cálculo do teste qui-quadrado de independência. O = observado. E = esperado.*

Na Figura 6, portanto, calculamos as diferenças entre valores observados e esperados para cada célula, elevamos esses desvios ao quadrado, e dividimos esses desvios quadráticos pelos valores esperados. Por fim, somamos os valores obtidos em todas as células. O valor da soma, isto é, 13,75, corresponde à estatística χ2 observada em nossa amostra.

## Quais são os resultados possíveis de um teste qui-quadrado de independência?

Quando calculamos a estatística χ2, almejamos compará-la com um valor de referência, que é obtido de uma distribuição de χ2 com [graus de liberdade](/o-que-sao-graus-de-liberdade) iguais ao de nossa amostra. No teste qui-quadrado de independência, o número de graus de liberdade (*gl*) é dado por *gl =* (*m* – 1)(*n* – 1). Em nosso exemplo, portanto, nosso teste tem 1 grau de liberdade.

A Figura 7 apresenta a distribuição de qui-quadrado com 1 grau de liberdade. Imagine que nosso objetivo é “fatiar” a distribuição no ponto exato em que teremos 95% da distribuição à esquerda, e 5% à direita do ponto de fatiamento.

![distribuição de qui-quadrado para 1 grau de liberdade.](/uploads/2021-11_distribuicao-qui-quadrado-1-gl.jpg)

*Figura 7. Distribuição de qui-quadrado com 1 grau de liberdade. A mudança de cor da distribuição indica o valor crítico ao nível de significância de 0,05.*

O valor de χ2 correspondente a esse ponto de fatiamento é denominado **χ2 crítico** que, na Figura 7, é de 3,84. Em outras palavras, ele corresponde ao ponto exato que divide as regiões cinza e vermelha da distribuição.

Ao comparar os valores de χ2 observado e crítico da distribuição teórica da Figura 7, uma das seguintes situações poderá acontecer:

-   **χ2observado < χ2crítico:** nesse caso, o valor que obtivemos cai na região cinza da Figura 7. Em outras palavras, falhamos em rejeitar a hipótese nula de que as frequências observadas e esperadas dos cruzamentos de consumo de café e relatos de insônia são iguais;
    
-   **χ2observado > χ2crítico:** nesse caso, o valor que obtivemos cai na região de rejeição (a região vermelha da Figura 7). Em outras palavras, rejeitamos a hipótese nula de que as frequências observadas e esperadas dos cruzamentos de consumo de café e relatos de insônia são iguais.
    

## Como interpretar o teste qui-quadrado de independência?

Recapitulando, devemos comparar a estatística χ2 de nossa amostra com uma distribuição de χ2, para avaliar se o valor obtido é igual ou mais extremo que o valor de χ2 crítico para *gl* \= 1.

Antigamente, isso era feito comparando-se o χ2 obtido com uma tabela normatizada da distribuição de χ2, que ainda aparece nos apêndices de alguns manuais de estatística. No entanto, com o advento de computadores modernos, isso não é mais necessário: *softwares* estatísticos nos fornecem facilmente o [valor de *p*](/o-que-e-valor-de-p) para o nosso teste.

Esse valor de *p* seria o equivalente a “fatiarmos” nossa distribuição no ponto exato de nosso χ2observado e, posteriormente, calcular qual é a proporção da área à direita do fatiamento em relação à área total da distribuição inicial.

Em nosso exemplo, o χ2 = 13,75, em uma distribuição com 1 grau de liberdade, está associado a um valor de *p* de 0,0002**,** que é inferior ao nosso nível de significância de 0,05. Por isso, rejeitamos a hipótese nula e interpretamos nossos resultados como indicativos de uma associação entre consumo de café e relatos de insônia.

## Como calcular tamanhos de efeito do teste qui-quadrado de independência?

Três medidas de [tamanho de efeito](https://blog-academy.replit.app/o-que-e-tamanho-de-efeito) são tipicamente usadas em testes qui-quadrado de independência, a saber, o [coeficiente phi](/o-que-e-o-coeficiente-phi) (letra grega φ), o [*V* de Cramér](https://blog-academy.replit.app/medidas-de-associacao-coeficiente-phi-e-v-de-cramer) e a [razão de chances](/o-que-e-razao-de-chances-odds-ratio) (*odds ratio*).

### Coeficiente phi

Podemos calcular o coeficiente φ diretamente a partir da estatística de qui-quadrado:

![coeficiente phi fórmula.](/uploads/2021-11_coeficiente-phi.jpg)

onde *N* é o total de observações da tabela de contingências. Em nosso exemplo, φ = √(13,75/100) = 0,37, o que podemos interpretar como uma associação moderada entre as variáveis. Note, contudo, que o coeficiente φ só deve ser calculado para tabelas de contingência 2 × 2.

### *V* de Cramér

Nós também podemos calcular o *V* de Cramér a partir da estatística de qui-quadrado:

![V de Cramér fórmula.](/uploads/2021-11_v-de-cramer-formula.jpg)

onde min(*m* – 1, *n* – 1) indica que devemos selecionar o menor entre os valores dos números de linhas e de colunas, subtraído de uma unidade. Se temos uma tabela de contingências 2 × 2, então min(*m* – 1, *n* – 1) = 1 e *V* = φ. No entanto, o *V* de Cramér é uma generalização do coeficiente φ para tabelas de contingência superiores a 2 × 2.

### Razão de chances (*odds ratio*)

No presente exemplo, nós operacionalizaremos razão de chances como as chances relativas de quem consome café ter insônia, comparado a quem não consome café ter insônia. Para isso, rearranjamos os dados conforme a Figura 8, de modo a adequá-la à formula.

![razão de chances (odds ratio) fórmula.](/uploads/2021-11_razao-de-chances-como-calcular.jpg)

*Figura 8. Tabela de contingências 2 × 2 e fórmula da razão de chances.*

Em nosso exemplo, portanto, temos que a razão de chances (RC) = (40 × 28)/(10 × 22) = 5,09, indicando que quem consume café tem cinco vezes mais chances que quem não consome de ter insônia.

## Como reportar os resultados do teste qui-quadrado de independência?

Os resultados de um teste qui-quadrado de independência devem fazer menção à estatística χ2, aos graus de liberdade, ao valor de *p* e, finalmente, a uma medida de tamanho de efeito.

Desse modo, seguindo as normas de publicação da *American Psychological Association* (APA), 7ª edição, apresentamos uma sugestão de relato no parágrafo a seguir.

> *A Figura 1 apresenta a tabela de contingências cruzando as variáveis relacionadas ao consumo de café e sintomas de insônia. Com base nesses dados, um teste qui-quadrado de independência indicou que houve associação significativa e moderada entre consumo de café e insônia, χ2(1, N = 100) = 13,75, p < 0,001, φ = 0,37. Finalmente, a razão de chances indicou que aqueles que consome café têm 5,09 vezes mais chances de apresentar sintomas de insônia que aqueles que não consomem café.*

## Quais são os pressupostos do teste qui-quadrado de independência?

O teste qui-quadrado de independência possui alguns pressupostos estatísticos, isto é, algumas suposições devem ser satisfeitas para um adequado funcionamento do teste. Nesse teste, é importante que a frequência **esperada** mais baixa de cada célula seja maior ou igual a 5. No entanto, alguns autores sugerem um pressuposto menos rigoroso, a saber, pelo menos 80% das células devem ter frequências **esperadas** maiores ou iguais a 5.

Se você tiver uma tabela de contingências 2 × 2, é recomendado que a frequência esperada seja de pelo menos 10 por célula. Contudo, caso você viole tal pressuposto, é possível aplicar a correção de continuidade de Yates nos dados, ou usar o [teste exato de Fisher](/teste-exato-de-fisher). Ambas as alternativas estão disponíveis em pacotes estatísticos populares, como o SPSS e o JASP.

## Referências

Field, A. (2017). *Discovering statistics using IBM SPSS Statistics* (5th ed.). Sage.

Howell, D. C. (2013). Categorical data and chi-square. In D. C. Howell, *Statistical methods for psychology* (8th ed., pp. 137–176). Wadsworth Cengage Learning.

## Como citar este post

> **Como citar este artigo:** Lima, M. (2021, 4 de novembro). O que é teste qui-quadrado de independência? *Blog Psicometria Online*. https://www.blog.psicometriaonline.com.br/qui-quadrado-teste-de-independencia