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title: "O que é o teste de Wald-Wolfowitz?"
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canonical: https://www.blog.psicometriaonline.com.br/o-que-e-o-teste-de-wald-wolfowitz
language: pt-BR
published: 2026-02-23T12:00:00.000Z
updated: 2026-04-07T03:06:06.983Z
modified: 2026-04-07T03:06:06.983Z
author: "Marcos Lima"
categories: ["Análises bi e multivariadas"]
tags: ["testes não paramétricos"]
description: "Entenda o teste de Wald-Wolfowitz e veja como ele examina e testa a hipótese da aleatoriedade de sequências em dados."
source: Blog Psicometria Online
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# O que é o teste de Wald-Wolfowitz?

> No livro Descobrindo a Estatística Usando o SPSS, Andy Field descreve uma série de análises bi e multivariadas. Em particular, no capítulo dedicado aos testes não paramétricos, Field menciona, de passagem, algumas opções contidas no SPSS. Uma delas é o teste de Wald-Wolfowitz (Figura 1). Figura...

No livro *Descobrindo a Estatística Usando o SPSS*, Andy Field descreve uma série de análises bi e multivariadas. Em particular, no capítulo dedicado aos testes não paramétricos, Field menciona, de passagem, algumas opções contidas no SPSS. Uma delas é o teste de Wald-Wolfowitz (Figura 1).

![teste de wald-wolfowtiz](/uploads/1775530576027-936035386.jpg "teste de wald-wolfowtiz")

*Figura 1. Breve menção do teste de Wald-Wolfowitz no livro de Andy Field.*

Confesso que, na época da leitura, esse teste não me chamou a atenção. Afinal, o foco daquela seção do capítulo era o teste de Mann-Whitney, uma alternativa não paramétrica ao teste *t* para amostras independentes.

No entanto, algum tempo depois, voltei a me deparar com o teste de Wald-Wolfowitz em outro contexto. Imediatamente, recordei que se tratava daquele teste ao qual Andy Field dedicara apenas nove linhas. Ainda assim, achei particularmente interessante a forma como ele foi aplicado. Este post, portanto, nasce dessa curiosidade: quero explicar esse uso específico e, além disso, apresentar outras aplicações do teste.

## Aleatoriedade, probabilidades condicionais e o viés da “mão quente”

Antes de tudo, vale esclarecer alguns conceitos preliminares. Em termos gerais, a **aleatoriedade** se refere à ausência de padrões sistemáticos na ordem dos eventos. Em um processo verdadeiramente aleatório, o resultado de um evento não fornece informação útil sobre o resultado do evento seguinte.

Por exemplo, em uma sequência idealmente aleatória de lançamentos de moeda, o fato de a moeda ter dado cara em uma tentativa não altera a probabilidade de cara ou coroa na tentativa seguinte.

Contudo, é importante frisar que a mente humana tende a buscar sentido e regularidade no mundo. Nesse esforço, frequentemente “alucinamos” padrões mesmo quando os dados são essencialmente aleatórios. Um caso clássico envolve o chamado **viés da “mão quente”** (*“hot hand” belief*): a crença de que um jogador de basquete tem maior probabilidade de converter um arremesso se converteu o arremesso anterior do que se errou o anterior (Figura 2).

![hipótese da "mão quente".](/uploads/1775530619127-796919753.jpg)

*Figura 2. Ilustração do preparo para um arremesso no basquete.*

Formalmente, poderíamos expressar esse viés da seguinte maneira:

![](/uploads/1775530645285-792620367.jpg)

Onde *t* representa a tentativa presente e *t −* 1 representa a tentativa imediatamente anterior. O símbolo “|” deve ser lido como “dado que” e indica uma probabilidade condicional. Em termos gerais, uma **probabilidade condicional** expressa a probabilidade de um evento ocorrer sob a condição de que outro evento já ocorreu. Assim, ao escrever *p*(acerto em *t* | acerto em *t −* 1), estou avaliando a probabilidade de acerto na tentativa atual, dado que o arremesso imediatamente anterior também foi convertido.

O viés da “mão quente” consiste, portanto, na percepção de que as probabilidades condicionais anteriormente apresentadas diferem entre si. Em outras palavras, haveria uma *dependência temporal* entre eventos adjacentes.

Como veremos a seguir, o teste de Wald-Wolfowitz oferece uma forma elegante de avaliar se essa crença encontra respaldo empírico.

## O que é e para que serve o teste de Wald-Wolfowitz?

O **teste de Wald-Wolfowitz** é um procedimento estatístico não paramétrico usado para testar a aleatoriedade da ordem de uma sequência de observações. Mais especificamente, ele examina se a disposição dos dados ao longo do tempo ou da sequência pode ser considerada aleatória.

Na prática, pesquisadores aplicam esse teste quando desejam verificar se existe dependência temporal ou estrutural nos dados. Assim, o foco não recai sobre os valores em si, mas sobre a ordem em que eles ocorrem.

Por exemplo, Gilovich et al. (1985) analisaram o desempenho dos nove principais jogadores do Philadelphia 76ers nos arremessos da temporada 1980–1981 (Tabela 1).

Jogador

Acertos

Erros

Sequências (*runs*)

Clint Richardson

124

124

128

Julius Erving

459

425

431

Lionel Hollings

194

225

203

Maurice Cheeks

189

150

172

Caldwell Jones

129

143

134

Andrew Toney

208

243

245

Bobby Jones

233

200

227

Steve Mix

181

170

176

Daryl Dawkins

250

153

220

*Tabela 1. Desempenhos dos nove principais jogadores do Philadelphia 76ers na temporada 1980–1981 (Gilovich et al., 1985, Estudo 2).*

Dois aspectos da Tabela 1 merecem destaque. Primeiro, diferentemente de muitos testes estatísticos, não tratamos esses dados como uma amostra de nove casos. Pelo contrário, *cada jogador constitui um estudo independente*, e a sequência de arremessos de cada jogador forma a amostra relevante.

Segundo, o objetivo não é verificar se há diferenças nas proporções de acertos e erros entre jogadores. Isso poderia ser feito, por exemplo, com [testes binomiais](/como-executar-e-interpretar-o-teste-binomial). Aqui, o interesse é outro: queremos saber se, **dado o número de arremessos**, o padrão de alternância entre acertos e erros difere do que seria esperado ao acaso.

Para isso, precisamos compreender um conceito central do teste: o de sequências. Em seguida, apresentarei didaticamente a ideia por trás desse conceito.

## O que são sequências (*runs*)?

Uma ***sequência*** corresponde a um conjunto de observações consecutivas do mesmo tipo. Alguns autores mantêm o termo em inglês (*run*), ou mesmo o traduzem como *corrida* (veja a Figura 1), mas aqui utilizarei a tradução *sequência*.

Suponha que um atleta tenha feito 10 arremessos ao cesto e obtido os resultados mostrados na Figura 3.

![](/uploads/1775530729744-946865552.jpg)

*Figura 3. Ilustração do conceito de sequências (runs).*

Nesse exemplo, o atleta acertou seis arremessos e errou quatro. No entanto, mais importante do que essas quantidades é o fato de que os resultados se organizam em *cinco sequências distintas*. Cada mudança de erro para acerto, ou de acerto para erro, inicia uma nova sequência.

Se o viés da “mão quente” tivesse fundamento empírico, esperaríamos *poucas sequências*, pois acertos e erros tenderiam a se agrupar em blocos maiores.

Em síntese:

-   **Muitas sequências** sugerem alternância frequente entre acertos e erros, e, portanto, aleatoriedade.
    
-   **Poucas sequências** indicam agrupamento de resultados e, consequentemente, possível não aleatoriedade — consistente com o viés da “mão quente”.
    

## Qual é a lógica do teste de Wald-Wolfowitz?

A lógica do teste de Wald-Wolfowitz se baseia diretamente na contagem de sequências. O teste compara o número observado de sequências com o número esperado de sequências sob a suposição de que a ordem dos dados é aleatória.

Para fixar as ideias, considere dois cenários adicionais. Primeiramente, suponha que um jogador erre os cinco arremessos iniciais e, em seguida, acerte cinco arremessos finais (Figura 4).

![dados para o teste de wald-wolfowitz com apenas duas sequências.](/uploads/1775530771924-862964446.jpg)

*Figura 4. Série com apenas duas sequências.*

Note que o cenário da Figura 4 é compatível, do ponto de vista descritivo, com o viés da “mão quente”. Nessa sequência específica, há apenas duas sequências, o que sugere que acertos e erros se agruparam em blocos longos. Esse padrão cria a impressão de que o desempenho do jogador passou a depender fortemente do que ocorreu nas tentativas anteriores, em vez de alternar de forma aleatória ao longo do tempo.

Isso fica claro, por exemplo, quando comparamos o mesmo desempenho (50% de acertos), mas agora com alternâncias perfeitas entre acertos e erros (Figura 5).

![dados para o teste de wald-wolfowitz com dez sequências.](/uploads/1775530817108-806250319.jpg)

*Figura 5. Ilustração de uma série com o máximo possível de sequências (runs).*

Nesse segundo cenário, o número de sequências é máximo. Acertos e erros se alternam sistematicamente, o que é incompatível com a intuição da “mão quente” e, ao contrário, sugere um padrão de alternância extrema em vez de agrupamento temporal.

Assim, para cada jogador da Tabela 1, conhecemos o número total de arremessos e o número de sequências observadas. Com base nesses valores, o teste permite avaliar formalmente a hipótese de aleatoriedade.

## O teste de Wald-Wolfowitz na prática

A Tabela 1 apresenta o número de sequências observadas para cada jogador. No entanto, também precisamos determinar o **número de sequências esperado** sob a hipótese nula de aleatoriedade.

Esse valor esperado é dado por:

![valor esperado de sequências, dados n1 e n2.](/uploads/1775530858496-824863286.jpg)

Onde *n*1 e *n*2 representam o número de observações de cada tipo (acertos e erros).

Por exemplo, Clint Richardson teve 124 acertos e 124 erros. Substituindo esses valores na fórmula, temos:

![sequencia esperada wald-wolfowitz sequencia numerica](/uploads/1775530898022-879284935.jpg)

Logo, com 124 acertos e 124 erros, obtemos um valor esperado de 125 transições entre acertos e erros, em qualquer ordem. No entanto, o valor observado foi de 128 sequências. Como o número observado foi 128, surge a pergunta central: essa diferença é estatisticamente relevante?

Para responder a essa questão, calculamos a estatística *Z* do teste de Wald-Wolfowitz. Essa estatística padroniza a diferença entre o número observado e o número esperado de sequências, levando em conta a variabilidade esperada desse número sob aleatoriedade:

![teste z de wald-wolfowitz](/uploads/1775530940193-289509682.jpg)

em que *Var(sequências)* representa a variância do número de sequências sob a hipótese nula (ver Siegel, 1956, p. 56). No caso de Clint Richardson, essa variância foi de 61,75. Logo:

![exemplo de cálculo da estatística do teste de wald-wolfowitz.](/uploads/1775530973143-809457519.jpg)

O valor de *Z* foi aproximadamente 0,38, com um valor *p* associado de 0,70. Ou seja, o número de sequências observadas não difere do esperado ao acaso.

Aplicando o mesmo raciocínio aos demais jogadores, obtemos os resultados resumidos na Figura 6.

![exemplo de resultados do teste de wald-wolfowitz.](/uploads/1775531004417-376198657.jpg)

*Figura 6. Resultados dos testes de Wald-Wolfowitz para os nove melhores atletas do Philadelphia 76ers na temporada 1980–1981.*

Em síntese, apenas Daryl Dawkins apresentou um número de sequências significativamente diferente do esperado (*Z* = −3,09, *p* = 0,002). Ainda assim, esse efeito ocorreu *na direção oposta* à prevista pela hipótese da “mão quente”. Portanto, os dados não oferecem suporte empírico para essa crença.

## Variantes do teste de Wald-Wolfowitz

Até aqui, tratei o teste de Wald-Wolfowitz como um único procedimento. No entanto, existem três variantes principais do teste, que compartilham a mesma lógica geral, mas se aplicam a tipos distintos de dados.

A primeira variante é a versão para **dados dicotômicos**, que discuti ao longo do post. Nela, as observações já pertencem naturalmente a duas categorias, como acerto/erro. Assim, o teste avalia se essas categorias se alternam aleatoriamente ao longo da sequência ou se tendem a se agrupar em blocos.

A segunda se aplica a **dados contínuos**. Aqui, é necessário um passo adicional. Para ilustrar, suponha que eu esteja analisando a distância percorrida por um jogador de futebol ao longo de uma partida. Divido o jogo em dez intervalos consecutivos de nove minutos e registro, em cada intervalo, a distância por ele percorrida.

Como a quilometragem é uma variável contínua, primeiro classifico cada intervalo como “acima” ou “abaixo” da [mediana](/medidas-de-tendencia-central-media-mediana-e-moda) da distância dos intervalos. A partir daí, obtenho uma sequência dicotômica ordenada no tempo (Figura 7).

![Teste de Wald-Wolfowitz para dados contínuos.](/uploads/1775531060137-933287890.jpg)

*Figura 7. Teste de Wald-Wolfowitz para dados contínuos.*

O teste, então, examina se períodos de maior e menor intensidade física aparecem em blocos — algo que qualquer torcedor já suspeitou, ao ver um time “morrer” no segundo tempo.

Por fim, existe a variante do teste para **duas amostras**, mencionada por Andy Field. Para ilustrar, considere um **set de vôlei**, no qual cada rally gera um ponto para uma das equipes. O teste avalia se os pontos das duas equipes aparecem aleatoriamente intercalados ao longo da sequência ou se tendem a se agrupar em blocos (Figura 8).

![teste de wald-wolfowitz para duas amostras.](/uploads/1775531093295-328651172.jpg)

*Figura 8. Teste de Wald-Wolfowitz para duas amostras.*

Portanto, embora os contextos variem, o princípio do teste de Wald-Wolfowitz é sempre o mesmo: avaliar se **rótulos** se distribuem aleatoriamente ao longo de uma sequência.

## Conclusão

Pessoalmente, eu passei a gostar do teste de Wald-Wolfowitz justamente por ele atacar um problema conceitualmente simples — a aleatoriedade da ordem — de forma estatisticamente elegante. Por isso, achei que ele merecia um tratamento mais longo do que as modestas nove linhas oferecidas por Andy Field.

Espero que este post tenha ajudado a esclarecer tanto a lógica quanto o uso prático do teste. Se, de agora em diante, você passar a olhar sequências de dados com um pouco mais de cuidado, então o meu objetivo foi alcançado.

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## Referências

Field, A. (2020). *Descobrindo a estatística usando o SPSS* (5ª ed., L. Viali, Trad.). Penso. (Trabalho original publicado em 2017)

Gilovich, T., Vallone, R., & Tversky, A. (1985). The hot hand in basketball: On the misperception of random sequences. *Cognitive Psychology*, *17*(3), 295–314. https://doi.org/10.1016/0010-0285(85)90010-6

Lewis, N. D. (2013). *100 statistical tests in R: With over 300 illustrations and examples*. Heather Hills Press.

Siegel, S. (1956). *Nonparametric statistics for the behavioral sciences.* McGraw-Hill.

Wald, A., & Wolfowitz, J. (1943). An exact test for randomness in the non-parametric case based on serial correlation. The Annals of Mathematical Statistics, 14(4), 378–388. https://doi.org/10.1214/aoms/1177731358

## Como citar este post

> **Como citar este artigo:** Lima, M. (2026, 23 de fevereiro). O que é o teste de wald-wolfowitz? *Blog Psicometria Online*. https://www.blog.psicometriaonline.com.br/o-que-e-o-teste-de-wald-wolfowitz