--- title: "O que é correção de Bessel?" url: https://www.blog.psicometriaonline.com.br/correcao-de-bessel canonical: https://www.blog.psicometriaonline.com.br/correcao-de-bessel language: pt-BR published: 2024-11-27T11:00:00.000Z updated: 2026-03-30T01:33:49.115Z modified: 2026-03-30T01:33:49.115Z author: "Marcos Lima" categories: ["Análises bi e multivariadas"] tags: ["estatística descritiva"] description: "A correção de Bessel consiste em usar N – 1 no denominador da variância para obter um estimador não enviesado da variância populacional." source: Blog Psicometria Online --- # O que é correção de Bessel? > Neste post, vamos explorar a correção de Bessel, um ajuste matemático que fazemos no cálculo da variância em amostras. Primeiramente, abordaremos o conceito de variância e o porquê da necessidade de uma correção de sua fórmula. Em seguida, aprofundaremos o que é a correção de Bessel, apresentando tr... Neste post, vamos explorar a correção de Bessel, um ajuste matemático que fazemos no cálculo da variância em amostras. Primeiramente, abordaremos o conceito de variância e o porquê da necessidade de uma correção de sua fórmula. Em seguida, aprofundaremos o que é a correção de Bessel, apresentando três demonstrações que facilitarão o entendimento do que ela faz. Em nossa exposição, apesar de apresentarmos as fórmulas, não nos deteremos em provas matemáticas. Ao invés disso, nosso foco será no entendimento conceitual da correção de Bessel. ## O que é variância? A variância é uma [medida de dispersão](/medidas-de-dispersao-amplitude-a-variancia-e-o-desvio-padrao) que expressa o quão espalhados os dados estão em relação à média. Em outras palavras, ela caracteriza o grau de dispersão ou de variabilidade de um conjunto de dados. A fórmula da variância populacional (σ2) é dada por: ![fórmula da variância populacional.](/uploads/2024-12_variancia-populacional-formula.jpg) onde *xi* indica o valor de uma observação, μ indica a média populacional e *N* indica o tamanho amostral. Em síntese, a variância indica o desvio quadrático médio dos escores em relação à média, de modo que o numerador de sua fórmula também é conhecido como soma dos quadrados dos resíduos. Contudo, é comum que nosso interesse seja calcular a variância de uma amostra (*s*2), e não da população. Em tais casos, a fórmula da variância amostral (s2) é dada por: ![variância amostral sem correção de Bessel.](/uploads/2024-12_variancia-amostral-com-vies-formula.jpg) onde *X*\-barra indica a média amostral, uma estimativa da média populacional, μ. ## Correção de Bessel Anteriormente, apresentamos as fórmulas da variância populacional e amostral. No entanto, a fórmula da variância amostral é uma estimativa **enviesada** da variância populacional. Em estatística, consideramos um estimador como enviesado quando seu valor esperado (*E*) difere sistematicamente do parâmetro que ele busca estimar. Isto é, se *E*\[s2\] é diferente de σ2, nosso estimador é enviesado. Em particular, no caso de s2 com *N* no denominador, temos: ![valor esperado da variância amostral sem fator de correção.](/uploads/2024-10_vies-na-variancia.jpg) Em outras palavras, o valor esperado de s2 difere de σ2 por um fator de (*N* – 1)/*N*. Por exemplo, suponha que σ2 = 1, e que almejamos coletar dados com uma amostra de 10 participantes. Desse modo, *E*\[s2\] = 0,90, ou seja, s2 é um estimador enviesado para baixo, subestimando o verdadeiro valor da variância populacional. A **correção de Bessel** consiste em substituir *N* por *N* – 1 no denominador da fórmula da variância amostral: ![variância amostral com correção de Bessel.](/uploads/2024-12_variancia-amostral-com-correcao-de-bessel-formula.jpg) Neste caso, *E*\[s2\] = σ2. Em outras palavras, a fórmula da variância com a correção de Bessel é um estimador não enviesado da variância populacional, pois o uso de *N* – 1 elimina o fator de viés da fórmula original. Uma maneira conceitualmente intuitiva de pensar nessa correção é que, ao substituirmos μ por *X*\-barra na fórmula da variância, usamos um grau de liberdade para o cálculo da média amostral, o que nos deixa com *N* – 1 [graus de liberdade](/o-que-sao-graus-de-liberdade) remanescentes para estimarmos a variância populacional. ## Demonstrações da correção de Bessel Nas próximas subseções, faremos demonstrações do que a correção de Bessel realmente faz. Essa apresentação será útil para entendermos conceitualmente como ela produz estimativas não enviesadas da variância populacional. ### Variância com denominador N versus variância com correção de Bessel Suponha que amostramos aleatoriamente 10 observações de uma população com [distribuição normal](/distribuicao-normal), com média = 0 e desvio-padrão = 1. Como a variância é o desvio-padrão ao quadrado, temos, portanto, que σ2 = 1. Para essa amostra, calculamos a variância sem (*N* no denominador) e com (*N* – 1 no denominador) a correção de Bessel. O procedimento se repete 100 mil vezes. Ao final, plotamos as distribuições das variâncias amostrais usando as duas fórmulas. Além disso, calculamos as médias das variâncias nas 100 mil repetições da simulação, isto é, os valores esperados usando cada uma das duas fórmulas da variância. A Figura 1 apresenta as distribuições usando as duas fórmulas. A linha pontilhada vertical indica a variância verdadeira que, lembrando, σ2 = 1. Note que as estimativas de valores de σ2 são enviesados para baixo, isto é, subestimados, quando usamos *N* na fórmula da variância. ![comparação das fórmulas da variância sem e com correção de Bessel.](/uploads/2024-10_correcao-de-bessel-exemplos.jpg) *Figura 1. Distribuições de estimativas da variância com base nas fórmulas da variância sem (N) e com (N – 1) a correção de Bessel.* Mais importante, quando calculamos as médias das estimativas da variância, observamos que a fórmula da variância com a correção de Bessel produz uma estimativa não enviesada (*M* = 1), enquanto a fórmula com *N* no denominador subestima em 10% o valor da variância populacional. ### Magnitude do viés em função do tamanho amostral Anteriormente, dissemos que o viés da fórmula da variância usando *N* no denominador em estimar σ2 é da ordem de (*N* – 1)/*N*. Consequentemente, o viés será maior em tamanhos amostrais menores, tendendo a diminuir conforme o tamanho amostral aumenta (Figura 2). ![magnitude do viés da fórmula da variância sem correção de Bessel em função do tamanho amostral.](/uploads/2024-10_tamanho-do-vies.jpg) *Figura 2. Magnitude do viés da fórmula da variância com N no denominador em estimar a variância populacional em função do tamanho amostral.* Considere que, mais uma vez, retiramos amostras de uma população com distribuição normal, com média = 0 e desvio-padrão = 1 (portanto, σ2 = 1). Assim como fizemos anteriormente, repetimos o procedimento 100 mil vezes. Adicionalmente, agora fazemos esse “experimento” com diferentes tamanhos amostrais, que vão de 10 até 100, em incrementos de 10 participantes. A Figura 3 mostra os resultados dessa simulação. A linha pontilhada horizontal indica o valor verdadeiro da variância populacional de nossa simulação. ![o viés da fórmula da variância está inversamente relacionado ao tamanho da amostra.](/uploads/2024-10_correcao-de-bessel.jpg) *Figura 3. Estimativa da variância em função do denominador (N – 1 vs. N) e do tamanho amostral (10 a 100, em incrementos de 10).* Dois resultados são notáveis na Figura 3. Primeiramente, a estimativa da variância é acurada quando aplicamos a correção de Bessel (*N* – 1), mas é enviesada para baixo quando não a aplicamos (*N*). Em segundo lugar, tal como dissemos anteriormente, o viés é de aproximadamente 10% em amostras com 10 casos, mas se aproxima de apenas 1% quando o tamanho amostral chega a 100 casos. ## Por que a correção de Bessel usa N – 1? Por que a correção de Bessel usa *N* – 1? Colocando a questão de outra maneira, por que não usamos *N* – 2, *N* + 1, 0,5*N* ou qualquer outro valor, no lugar de *N*? Embora haja uma prova matemática que indique que *N* – 1 é o valor que torna a variância um estimador não enviesado da variância populacional, aqui queremos fornecer uma intuição por trás da prova matemática. Mais uma vez, assuma que retiramos amostras de 10 observações de uma população com distribuição normal, com média = 0 e desvio-padrão = 1 (portanto, σ2 = 1). O procedimento se repetiu 100 mil vezes. Em cada repetição, estimamos a variância usando 11 “fatores de correção” distintos (Figura 4). ![representação esquemática da demonstração.](/uploads/2024-10_exemplo-diferentes-denominadores.jpg) *Figura 4. Diferentes “fatores de correção” usados no denominador da terceira demonstração. N – 1 indica a correção de Bessel. N = 10.* A Figura 5 mostra os resultados, que são claros: valores **maiores ou iguais** a *N* no denominador **subestimam** σ2, enquanto valores **menores** que *N* – 1 **superestimam** σ2. Em contrapartida, o valor de *N* – 1, usado na correção de Bessel, é a única escolha na fórmula da variância que estima sem viés o valor da variância populacional, indicado pela linha pontilhada horizontal. ![a fórmula usando o denominador N – 1 (correção de Bessel) produz estimativas acuradas da variância populacional.](/uploads/2024-10_variancia-em-funcao-de-diferentes-valores-do-denominador.jpg) *Figura 5. Estimativa da variância em função de diferentes “fatores de correção”.* ## Conclusão Neste post, você aprendeu o que é a correção de Bessel no cálculo da variância. É importante destacar que o viés do uso de *N* no cálculo da variância se estende ao [desvio-padrão](/qual-e-a-diferenca-entre-variancia-e-desvio-padrao), uma vez que este é simplesmente a raiz quadrada da variância. Em contrapartida, o desvio-padrão calculado a partir da variância com *N* − 1, embora não seja isento de viés, é um estimador menos enviesado do desvio-padrão populacional em comparação com aquele baseado na variância com *N*. Gostou desse conteúdo? Se você quer aprender análise de dados, então faça parte da [**Psicometria Online Academy**](https://academy-po.psicometriaonline.com.br/?utm_source=blog&utm_medium=organico&utm_campaign=&utm_term=&utm_content=post), a maior formação de pesquisadores quantitativos da América Latina. Conheça toda nossa estrutura [**aqui**](https://academy-po.psicometriaonline.com.br/?utm_source=blog&utm_medium=organico&utm_campaign=&utm_term=&utm_content=post) e nunca mais passe trabalho sozinho(a). ## Referências Howell, D. C. (2013). Describing and exploring data. In D. C. Howell, *Statistical methods for psychology* (8th ed., pp. 15–62). Cengage Wadsworth Learning. ## Como citar este post > **Como citar este artigo:** Lima, M. (2024, 27 de novembro). O que é correção de bessel? *Blog Psicometria Online*. https://www.blog.psicometriaonline.com.br/correcao-de-bessel