O que são parâmetros livres e fixos em uma análise fatorial confirmatória?

Neste post, explicaremos o que são parâmetros livres e fixos em uma análise fatorial confirmatória (AFC). Em seguida, vamos revisar como os parâmetros funcionam dentro do modelo, como influenciam o cálculo e por que são fundamentais para garantir a viabilidade estatística da AFC.

Parâmetros livres e fixos: o que são na AFC?

Na AFC, buscamos reproduzir a matriz de variância–covariância da amostra (Σ), com base em uma matriz prevista pelo modelo (S). Para isso, precisamos estimar certos valores — os chamados parâmetros. A Figura 1 fornece um exemplo dos parâmetros que queremos estimar na AFC.

Esses parâmetros são as variâncias (valores na diagonal da matriz, na cor vermelha) e as covariâncias (valores fora da diagonal, na cor azul).

Na matriz S da Figura 1, vamos precisar estimar 6 parâmetros livres: 3 variâncias e 3 covariâncias, pois a parte acima da diagonal principal é simétrica com a parte abaixo dela. Em síntese, parâmetros livres são aqueles que serão estimados pelo modelo de AFC, com base nos dados.

Por outro lado, os parâmetros fixos assumem valores determinados previamente, sem depender da amostra.

Exemplo prático com parâmetros livres e fixos: três itens e um fator

Considere um modelo unifatorial simples com três itens. A matriz de variância–covariância resultante é similar àquela da Figura 1, possuindo 3 variâncias e 3 covariâncias, ou seja, seis valores observados.

Em uma AFC com um fator e três itens, precisaríamos estimar 10 parâmetros livres:

• 3 cargas fatoriais (λ₁, λ₂, λ₃).
• 1 variância do fator (Φ₁).
• 6 erros (variâncias e covariâncias dos itens).

A fórmula desse nosso modelo de AFC é apresentada a seguir, onde ela representa a matriz de variância–covariância implicada por nosso modelo fatorial.

Ou seja, os 10 parâmetros representam as cargas fatoriais (λ₁, λ₂, λ₃), a variância do fator latente (Φ₁) e as variâncias e covariâncias dos itens (θ₁₁, θ₁₂, θ₁₃, θ₂₂, θ₂₃ e θ₃₃).

Reduzindo parâmetros livres com parâmetros fixos

Anteriormente, nós introduzimos um modelo unifatorial, com três itens, onde temos seis valores observados, mas 10 parâmetros livres. Isso faz com que o nosso modelo seja não identificável. Para que um modelo seja identificável, uma condição necessária (mas não suficiente), é que ele tenha pelo menos grau de liberdade (gl) = 0 (Brown, 2015, p. 60), onde:

A fim de resolver o problema do modelo não identificável original, podemos fixar alguns parâmetros. Por exemplo, é comum:

• Fixarmos a variância do fator em 1.
• Fixarmos uma das cargas fatoriais em 1.
• Fixarmos as covariâncias dos itens (i.e., dos erros) em 0.

Desse modo, a fórmula de nosso novo modelo de AFC é apresentada a seguir, onde os elementos na cor vermelha representam os parâmetros que fixamos.

Assim, reduzimos o número de parâmetros livres para 5, deixando-nos com gl = 6 – 5 = 1. Isso torna o modelo identificável, permitindo que ele seja estimado de maneira apropriada.

Conclusão

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Referência

Brown, T. A. (2015). Confirmatory factor analysis for applied research (2^nd ed.). The Guilford Press.

Como citar este post

Damásio, B. (2021, 11 de agosto). O que são parâmetros livres e fixos em uma análise fatorial confirmatória? Blog Psicometria Online. https://www.blog.psicometriaonline.com.br/o-que-sao-parametros-livres-e-fixos-em-uma-afc/